В тексте название премии нужно писать в кавычках. В орфографических словарях, которые призваны показывать собственно орфографическую форму (буквенный состав, слитное/дефисное/раздельное написание), кавычки, являющиеся пунктуационным знаком, часто не используют. Прежде всего, это связано с тем, что кавычки в начале словарной статьи затрудняют поиск слов в словаре.
Запятые не нужны.
Запятая перед закрывающей кавычкой не ставится никогда.
Слово "собственному" употреблено некорректно (получается, что речь идет о здоровье проекта). Проект привлекает внимание широкой общественности, и прежде всего женщин, к здоровью.
Такой вариант пунктуационного оформления возможен.
Такие местоимения называются относительными.
В этом предложении слова прежде всего не обособляются. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Запятую нужно поставить.
Пунктуация зависит от значения. Скорее всего, здесь имеется в виду "сначала нужно обеспечить свободное прохождение воздуха" – в этом случае запятая не нужна.
Подробно об этом см. в "Справочнике по пунктуации".
Процитируем "Русскую грамматику":
§ 3147. Сложносочиненные предложения, формируемые однозначными союзами дифференцирующего типа, а также многочисленными аналогами сочинительных союзов, выражают разные виды несобственно соединительных отношений.
Это предложения со значением пояснительным, противопоставления, факультативно-комментирующим, причинно-следственным и градационным. За исключением союзов то есть, а именно, а то и, связующие слова и сочетания в таких предложениях не являются союзами в собственном смысле слова: союзная функция в них производна от оценочно-квалифицирующих лексических значений соответствующих наречий, частиц, вводных слов и сочетаний.
Это такие аналоги союзов, как зато, однако, только, наконец, напротив, наоборот, вернее, точнее, скорее, все же, все-таки, тем не менее, между тем, поэтому, следовательно, значит, собственно, кстати, кстати говоря, таким образом, тем самым, иначе, иными словами, вместе с тем, более того, кроме того, сверх того, к тому же, прежде всего, во всяком случае, по крайней мере, не только, мало того, не то чтобы, не то что.
Многие из этих аналогов широко употребительны в качестве конкретизаторов при союзах недифференцирующего типа. Отличие аналога союза от собственно союза заключается в том, что в составе соединений типа и всё-таки, и однако, и тем не менее, а следовательно, а поэтому, но зато, но только, или вернее собственно союз занимает позицию конкретизируемого компонента (как правило, первую, открывающую), тогда как аналог союза выполняет конкретизирующую функцию и следует за союзом.