Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа показывает, что действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что действие совершается одним человеком (он), а второй (сын) участвует в процессе в гораздо меньшей степени.

1. Правильно: изъявят.
2. В безличном предложении нет субъекта.

Это эллиптическое предложение (предложение с опущенным сказуемым). В таких предложениях тире ставится при наличии паузы, а при её отсутствии не ставится.

Употребление деепричастного оборота, не выражающего действие подлежащего, возможно в безличном предложении при инфинитиве. Поэтому оба приведённых Вами предложения корректны.

Пишутся слитно глаголы с составной приставкой недо-, придающей глаголу значение неполноты, недостаточности действия, несоответствия требуемой норме. От них надо отличать глаголы с приставкой до-, имеющие впереди cебя отрицание не и обозначающие не доведенное до конца действие. Ср.: недосмотреть за ребенком (недостаточно, плохо смотреть, упустить что-нибудь) - не досмотреть фильм; недоговорить (не все высказать, умолчать о чем-либо) - не договорить по телефону из-за перебоев со связью .

Фраза По данным ГИБДД, дорожно-транспортных происшествий в эти дни не зарегистрировано построена правильно. Ошибки в ней нет. Она построена по модели "причастный предикатив + существительное в форме родительного падежа", это одна из схем, по которой строятся простые предложения в русском языке. Ср.: Подтверждения не получено. Хлеба не куплено. Денег адресату не выслано. Из этой истории никем не сделано необходимых выводов. Все эти фразы грамматически правильные.
Что касается фразы Вас здесь не стояло, то она не имеет отношения к рассматриваемому типу предложений. Ошибка здесь даже не столько в построении предложения, сколько в неправильной форме слова - в том, что глагол стоять употребляется как безличный. Безличные глаголы обозначают действие, у которых нет производителя (смеркалось), или действие, которое мыслится как происходящее помимо воли субъекта (меня знобит). Стоять - действие, у которого есть производитель и которое не может происходить без его воли, поэтому безличной формы у глагола стоять быть не может.

Корректно употребить в данном примере сказуемое в форме множественного числа, так как сказуемое обозначает раздельное действие.

Предложения некорректны.

Значение этого корня - "помещать что-либо куда-либо".

Глагол идти обозначает действие как процесс. Глагол ходить - повторяющееся действие. Ср.: он идет на работу в одной рубашке (идет сейчас, процесс происходит в данный момент) - он каждый день ходит на работу в одной рубашке (действие повторяется каждый день).