В «Большом академическом словаре русского языка» (гл. ред. К. С. Горбачевич. Т. 7. М., СПб., 2007) слово казачий приравнено по значению к слову казацкий.

Правильно: орден Трудового Красного Знамени, орден Октябрьской Революции.

Лучше: агентство Казани.

Указанная запятая нужна.

Казанка.

Верно: в городе Брянске. См. в «Письмовнике».

Правильно: Республика Корея.

Отдельного правила нет, но в справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (7-е изд. М., 2005) приведены примеры написания названий фонтанов: «Фонтан невинных» (в Париже), фонтан Треви, фонтан «Самсон». Таким образом, фонтан пишется с маленькой буквы, если употребляется как родовое слово, и с большой, если является первой частью названия. Корректно: «Фонтан плодородия».

Названия, написанные латиницей, в русском письме принято не заключать в кавычки.