Фразу нужно перестроить. Возможен такой вариант: Они проверили 51 учреждение, где проживали нелегалы.
Корректно со строчной: федеральное государственное бюджетное учреждение культуры.
Согласование – по слову учреждение: наше МКУ «Рошальский МФЦ».
Верно: государственное учреждение «Жилищник такого-то района» рассмотрело; акционерное общество «Банк такой-то» выполнило.
Правильно: Бюджетное учреждение «Центр социального сопровождения "Солнышко"», расположенное...
Можно сослаться на «Справочник по оформлению нормативных правовых актов в Администрации Президента Российской Федерации», в котором зафиксированы сочетания федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Исследовательский центр частного права имени С. С. Алексеева при Президенте Российской Федерации»; федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации».
Ответ на вопрос № 284410 исправлен.