Первое слово нужно написать с большой буквы.
Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.
Согласование формальное – по названию должности (т. е. по мужскому роду): Самарский государственный университет в лице ректора Ивановой Галины Ивановны, действующего...
Правильное написание: Нью-Йоркский университет.
Прилагательное от Лодзь – лодзинский.