Дополнительный знак препинания не ставится.
Обе формы возможны, краткая и полная.
Здесь, в разговорной конструкции, уместно употребление местоимения "что".
Запятая нужна.
Возможны оба варианта. При этом сочетание соревнование по уборке урожая означает, что соревновались в том, кто лучше соберет урожай. А вот сочетание соревнование на уборке урожая, строго говоря, означает, что во время уборки урожая происходило какое-то соревнование (возможно, боролись за звание самой веселой бригады).
Оба способа разбора возможны.