Оба варианта верны.
Орфографически правильно: Зелик. Правило таково: суффикс -ик при склонении сохраняет гласный звук, суффикс -ек имеет беглый гласный, например: листик - листика, но: краешек - краешка. Поэтому: Зелик – Зелика.
См. ответ на вопрос № 282388.
В предложном падеже варианты в сети и в сети равноправны. В родительном, дательном падеже единственного числа и в именительном падеже множественного числа правильно: сети.
Верно: торговые сЕти, развитие сЕти. Подробнее см. в окне «Искать на Грамоте».
Оба варианта верны.
Корректно: в сети Интернет. Но: в Интернете и в интернете.
Интернет-сайт и интернет-магазин - корректные образования.
Правильно: услуги сети, поиск сети.
Правильно: внутри сети, в Сети и в Сети (в Интернете).