Правильно: под подпись или под расписку.
Правильно: в 3-дневный срок. Обратите внимание: не под роспись, а под подпись. См. в «Словаре трудностей»: Подпись, роспись и виза.
Запятая не ставится. Слова "под названием" избыточны.
Правильно: под Николаевом (если речь о городе Николаев).
Под городом Ростовом-на-Дону, под Саратовом, под Гдовом, под городом Серпуховом. Примеры убеждают, что выбор нужно сделать в пользу варианта под городом Дымовом. Подробно о склонении географических названий рассказано в «Письмовнике».
Правильно: ознакомить сотрудников с инструкцией под подпись или под расписку.