Все названные Вами варианты верны.
Корректно: через интернет-помощник (если речь о компьютерной программе).
Правильно: на озере Байкал. Названия озер не склоняются в сочетании с родовым словом озеро. Исключение составляют случаи, когда топоним выражен прилагательным: на Онежском озере.
Правильно: через терния.
Как правило, очерк чего/по чему.