Правильно: пекинская Олимпиада, зимние Олимпийские игры.
Лучше всего: (школьная) олимпиада по истории.
Не видим в вопросе 225548 указанного Вами ответа. Правильно: сочинская Олимпиада, пекинская Олимпиада.
Правильно: призер Второй Международной олимпиады...
Если речь идет о двух разных этапах, верно: чествование победителей областного и заключительного этапов.
Все вопросы об олимпиаде присылайте по адресу: portal@gramota.ru.
Верно: Награждается ученица 4 класса "Ж" Савельева Елизавета, занявшая 1-е место в школьной олимпиаде.