Запятые не нужны.
Закавычивать Вы не нужно.
Вы написали правильно: Глубокоуважаемая Анастасия, позвольте к Вам обратиться.
Нужно перестроить предложение, отказавшись от соседства двух слов на -ние. Возможен такой вариант: Если после лечения больному не становится лучше, нужно обратиться к врачу.
Запятая не нужна.
1. Правильно с прописной буквы. 2. Оба варианта возможны.