Корректно написание через дефис. Ср. с предписаниями академического «Русского орфографического словаря» для сочетаний подобной структуры.
Взрослый билет – корректное для разговорной речи сочетание. У слова взрослый есть значение не только 'достигший зрелого возраста, полной зрелости', но и (в разговорной речи) 'предназначенный для таких людей; касающийся таких людей': взрослый фильм, взрослый билет; взрослые проблемы.
Что касается сочетания детский билет, то оно абсолютно нормально, т. к. основное значение прилагательного детский – относящийся к детям, предназначенный для детей.
Нужно поставить тире (длинную черточку) с пробелами.
Корректно: врач – детский хирург, врач – мануальный терапевт.
Решать организаторам конкурса. А есть другие варианты названия? И в чем суть конкурса?
Корректно раздельное написание.
Название диагноза пишется со строчной буквы и заключается в кавычки.