Правильно: кеглей.
Правильно: получила медаль конкурса упаковки (конкурса на лучшую упаковку).
Запятую ставить не нужно.
Грамматически формы множественного числа у этих слов есть, но не употребляются.
Запятая нужна, она закрывает придаточное предложение.
Нет, кавычки не требуются.