Сказуемое ставится в единственном числе, если между однородными подлежащими стоит разделительный союз или и нет необходимости согласования сказуемого и подлежащих в роде. Верно: Когда есть возможность, эстафету подхватывает муж или мама.

Правильно: погодков.

Анастасия, о таких словах, как мама и папа, нельзя говорить, что они являются достоянием какого-то одного языка, из которого потом могли прийти в другой. Эти слова, образованные взрослыми путем вычленения каких-то сочетаний звуков, похожих на слоги, из детского лепета, относятся к древнейшему пласту лексики любого языка. Возникли они, по-видимому, даже не в праиндоевропейском языке (общем предке всех славянских, германских, романских и др. языков), а в праностратическом языке – гипотетическом предке большинства языков Европы, Азии и Африки. Фактически словам мама и папа много тысяч лет, они появились задолго до того, как Япония стала Японией, Китай – Китаем, а Россия – Россией.

Верно: Так же как и мама, огорчена сестра.

Корректно: Создатель уютной домашней остановки - мама художника Наталья Андреевна - постоянный помощник и автор цветочных композиций в саду.

Пунктуационные ошибки есть. Кроме того, рекомендуем писать сначала имя, потом фамилию. (А если это официальный документ, то указываются имя и отчество, а не только имя.) Также обратите внимание, что учащихся вузов обычно называют студентами, а не учениками.

Корректно: Вас беспокоит Мария Иванова, мама студентки 5 курса факультета экономики Карины Ивановой.

Эти сочетания корректны, но могут быть нюансы в том или ином контексте.