Глагол поставить употребляется в сочетании со словом вопрос лишь во фразеологических конструкциях (поставить вопрос ребром). Вне таких оборотов верно: задать вопрос.
Правильно: В здании, являющемся памятником архитектуры...
Правило очень простое. В предложном падеже пишется окончание -ем- (в здании, каком? – являющемся). А окончание -им- пишется в творительном падеже (зданием, каким? – являющимся). Например: встретились рядом со зданием, являющимся памятником архитектуры; с тигром, являющимся хищником, шутки плохи.