Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа сказуемого показывает, что  в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что подлежащим является только слово мама, а слово ребенком выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия (т. е. ребенка ведут гулять, он в данном случае не является самостоятельным субъектом действия).

В разговорной речи возможна замена "пойдем" на "пошли".

Запятые не нужны.

Знаки препинания расставлены верно.

Правильно: броситься в направлении (п. п.) удара. Это сочетание с предложным значением.

Лучше поставить тире: Хочешь – иди гулять, хочешь – оставайся дома.

В любом случае весело не может быть глаголом. В приведенных примерах можно считать это слово предикативом.