Правильно: действующего. В письменной деловой речи принята норма согласования с названием должности – директор (безотносительно к полу).

Специально никто не "допускает" аббревиатуры. Есть общепринятые сокращения, есть индивидуальные. Главное, чтобы сокращение было понятно читателю.

При употреблении с оттенком торжественности возможен вариант ко всероссийской. В стилистически нейтральной и разговорной речи – к всероссийской.

Запятая не нужна. Однако здесь не вводное слово, а союз. См. подробные рекомендации в «Справочнике по пунктуации».

В названиях, состоящих из родового наименования и наименования, не сочетающегося с ним синтаксически, последнее заключается в кавычки и в нем пишутся с прописной буквы первое (или единственное) слово и собственные имена, поэтому правильно: ГЭС «Байхэтань», ГЭС «Три ущелья».