Кавычки не требуются.
Правильное ударение: ремикс. Ошибка в электронной версии орфографического словаря исправлена.
Правильно через дефис: релакс-музыка.
Правильно: воинский контингент.
Предлагаем обратиться к нашим электронным словарям (толково-словообразовательный словарь) в окне «Искать на Грамоте».
Сочетание японский городовой возникло на основе созвучия первых звуков (яп-) с первыми звуками матерного ругательства (ё...).