Правильно: на Тайване.
Об одном острове корректно: остров Курильской гряды.
Предложенная формулировка некорректна. Возможный вариант: южнобутовцы (по аналогии с зафиксированными словами южнокурильцы, южносахалинцы и др.).
Правильно: стрелка Васильевского острова.
Первое. Если речь именно о названии населенного пункта, а не о названии острова, то корректно написание обеих частей названия с прописной буквы: Попов Остров.
И второе. Склонять следует обе части названия: порт Попова Острова.
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Правильно: вглубь острова, вглубь Арктики. Ср.: в глубь океана (=в глубину).