Написание шедевр объясняется историей слова (от фр. chef d'oeuvre < chef 'главный' + oeuvre 'дело, труд, произведение'). Правило на жи – ши регулирует выбор между И и Ы, а не между И и Е.

Одна из особенностей русского письма – отсутствие специальных букв для обозначения парных твердых и мягких согласных. На твердость-мягкость парных согласных указывает следующая буква. Так, в слове был буква ы указывает на твердость согласного [б], а в слове бил буква и указывает на мягкость согласного [б']. Сам же согласный (и твердый, и мягкий) обозначается одной и той же буквой – Б.

А вот согласные ж и ш всегда твердые, парных их мягких звуков не существует, а значит, ж и ш не нуждаются в «подмоге», обозначать их твердость с помощью следующей буквы не требуется. Иначе говоря, букву ы, обозначающую твердость предшествующего согласного, после  ж и ш мы не пишем, потому что и без того знаем, что это твердые согласные.

Может возникнуть вопрос: как появилось написание жи и ши, если и указывает на мягкость согласного, а ж и ш всегда твердые? Это связано с тем, что в древнерусском языке звуки ж и ш были мягкими; написание жи – ши отражает этот исторический факт.

В иноязычных собственных именах (отнюдь не только литовских) могут встречаться отступления от правил «жи, ши пишем с буквой и; чу, щу пишем с буквой у» и т. п., ср.:  Шымкент (город в Казахстане), Мкртчян (армянская фамилия) и т. п. Такие написания зачастую обусловлены традицией.

Для данного задания это не принципиально.

Да, некоторые собственные имена (в том числе географические названия, личные имена и фамилии и проч.) могут писаться с сочетанями букв ЖЫ, ШЫ.

Название города Хошимин пишется слитно. О правописании собственных имен можно справиться в "Словаре имен собственных" ("Искать на Грамоте" на нашем портале).

Словарная фиксация недавно заимствованных слов может изменяться, это нормальный процесс. Хорошо иллюстрирует колебания в кодификации нормы забавная техническая ошибка в печатной версии «Русского орфографического словаря». В нем зафиксированы сразу две статьи: 1) су/ши и су/си, нескл., с. (кулин.) и 2) суши/, нескл., с. (кулин.). Очевидно, это произошло из-за того, что составители словаря до последнего сомневались в выборе варианта, в результате в словаре оказались обе статьи. Мы спросили ответственного редактора словаря В. В. Лопатина, какой же из них верить. Вот его рекомендация: ударение следует ставить на первом слоге. Вторая, ошибочная статья (суши/) при переиздании словаря будет из него удалена.

См. ответ № 216668 .

Написание географических названий следует узнавать в администрации того населенного пункта, где располагаются географические объекты.

Дело в том, что буквы ж и ш раньше передавали мягкие звуки, поэтому после этих букв пишется и (как после мягкого [н'], например). Потом эти звуки отвердели, однако написание сохранилось.