Возможные варианты: второе июня тысяча девятьсот восемьдесят шестого (года); второе шестого тысяча девятьсот восемьдесят шестого.
Слово поторопись – это призыв к адресату делать что-либо быстрее. Поэтому фраза Поторопись, уже шестой час вполне может быть сказана в начале шестого (в 5:05 или в 5:10). Допустим, кому-либо нужно сдать работу в шесть, тогда в начале шестого его могут призвать поторопиться, потому что осталось меньше часа. А в 5:45, вероятнее всего, будет сказано: Поторопись, уже почти шесть.
Уже начало шестого (в 5:05 или 5:10) – правильно.
Запятая не нужна. Может быть, переформулировать? Первая выставка состоялась в 2005 году, нынешняя выставка - шестая по счету.
Да, все верно.
См. в «Письмовнике».