Правильно: Большая часть территории района малонаселённа.

Основания для этого есть – иначе бы в трудах ученых не было тезисов о необходимости выделения категории состояния в отдельную часть речи. Равно как и есть основания для невыделения такой части речи. Следует отметить, что сам вопрос о частях речи в лингвистике является дискуссионным. Части речи – это результат определенной классификации, зависящей от того, что принять за основание для классификации. Количество частей речи в разных лингвистических работах различно и составляет от 4 до 15 частей речи.

Академическая «Русская грамматика» 1980 года категорию состояния в качестве отдельной части речи не рассматривает.

Верно: Значительная часть учеников проводит время на открытом воздухе.

Верно: добрая часть людей считает.

Предпочтительно: Часть из них сумела спастись.

Следует согласовывать сказуемое с подлежащим "часть": оставить зеркальной.