Лингвистические словари фиксируют написание Вооруженные силы РФ, однако в официальных документах принято написание с прописной буквы всех слов в этом сочетании. Вариант Вооруженные Силы Российской Федерации зафиксирован, например, в «Кратком справочнике по оформлению актов Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации» (этот справочник рекомендуется как нормативный источник для оформления официальной документации).
По правилам верно: жила. Но должны сказать, что сочетание пара-тройка детей носит разговорный характер. Если текст не принадлежит к разговорному стилю, лучше заменить слова пара-тройка на несколько.
Верно: 314 жилых строений. Лучше заменить глагол, чтобы избежать употребления однокоренных слов в одном предложении, например: возведено 314 жилых строений.
Правильное написание: за счет.
Сочетание тянуть резину в кавычки не заключается.
В словарях зафиксированы варианты: изо всей силы и изо всех сил «применяя всю свою силу, энергию».
Правильно написание с прописной буквы в обоих случаях.
Такое употребление возможно и зафиксировано словарями. Например, в «Большом толковом словаре» под ред. С. А. Кузнецова в статье живой отражены особое значение этого слова, свойственное только краткой форме, 'существует, имеется' и обусловленная этим значением сочетаемость: жив чем-либо, для чего-либо (черпает силу в чем-либо; существует благодаря чему-либо; способен на что-либо, к чему-либо). Вот несколько примеров: ...Мы все живы любовью народной [А. А. Фадеев]; Жив великой тоской по родине… жив блаженной верой в возвращение домой, в воскресающую Россию [А. И. Куприн]; ...Громадное большинство эмиграции живо надеждой на скорое возвращение... [С. Я. Эфрон].