Подробный ответ см. в «Письмовнике».
Корректно: в «Инстаграме» и в инстаграме. По поводу сториз и сторис нормативной рекомендации нет.
См. в «Письмовнике».
Слова "не мешкая" обособлять не нужно (деепричастие близко по значению к наречию).
Второе слово в названии пишется с маленькой буквы, если оно не является именем собственным: "Тихая пристань", "Ночная фиалка", МФК "Город столиц", ЖК "Воробьевы горы".
Указанная запятая нужна.