Запятая не нужна.
В официальной речи возможны оба варианта.
Хотя слово демократия и означает в буквальном переводе с греческого «власть народа», сочетание народная демократия стало устойчивым, закрепилось в языке советской эпохи для обозначения политической организации общества в государствах Центральной и Восточной Европы во второй половине XX века (страны народной демократии). Сочетание это корректно, оно не нарушает нормы языка.
Кавычки не нужны, если оборот употребляется в своем обычном значении.
Возможны оба варианта.
Это тема для кандидатской диссертации, но не для ответа "Справочного бюро".
Корректно: в языковую школу.