Да, это ошибка.
В некоторых случаях деепричастие не думая может сближаться по значению с наречием и не обособляться.
Верно: навстречу успеху.
Дело в том, что в число "названий учебных заведений" входят разные типы наименований. Некоторые из них требуется писать (вернее, начинать) с прописной буквы - например, полные и краткие официальные названия высших учебных заведений: Московский государственный университет. В названиях общеобразовательных школ с прописной буквы пишутся только заключаемые в кавычки элементы условного наименования: средняя школа "Лига школ", школа "Интеллектуал" и т. д.
Запятая не ставится.
Запятая поставлена правильно: она разделяет части сложного предложения.
Нет, следует перестроить фразу, чтобы избежать тавтологии (неоправданного соседства однокоренных слов).
Пропаганда – распространение и углубленное разъяснение каких-л. идей, учения, знаний среди широких масс населения.
См. в "Справочнике по пунктуации".
В первый раз в первый класс – не ошибка. Употребление сочетания в первый раз вместо первый раз (и наоборот) не может считаться ошибкой, т. к. это равноправные варианты.