Правилен второй вариант. Опереться можно на примеры в правиле о подлинных выражениях, вставленных в текст. Подлинные выражения, представляющие собой законченные предложения, начинаются с прописной буквы. 

«Подлинные выражения, вставленные в текст в качестве элементов предложения, выделяются кавычками, но двоеточие перед ними не ставится: Это «не хочу» поразило Антона Прокофьевича (Г.); Предположение дневального, что «взводный нажрался и дрыхнет где-то в избе», всё больше собирало сторонников (Ф.); Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана; С криком «Спасайте детей!» юноша бросился в горящее здание» (Розенталь Д. Э. Справочник по пунктуации для работников печати. М., 1984).

.«...Если прямая речь непосредственно включается в авторское предложение в качестве его члена, то она заключается в кавычки, знаки же препинания ставятся по условиям авторского предложения: Сказав Гричмару фразу «Легкой жизни не бывает, есть лишь легкая смерть», Крымов поймал на себе беспокойный, предупреждающий взгляд Стишова (Бонд.) (Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006)».

Обратите внимание: в конце предложения нужно поставить точку. 

Однажды я застал забавный диалог, один из участников которого задавался вопросом «Почему в нашем мире нет магии?». 

Возможен и другой вариант.

Однажды я застал забавный диалог, один из участников которого задавался вопросом: «Почему в нашем мире нет магии?»

Лучше всего поставить точку и начинать каждый абзац с прописной (оформлять как самостоятельное предложение).

В конце этого предложения нужно поставить точку.

Можно поставить точку с запятой, но при этом будет уместно двоеточие после слова "командировать".

Действительно, следует поставить тире между частями предложения или разделить его на два (поставить точку).

Если текст в скобках не отделен от абзаца, то точку обычно ставят после скобки: ...и я его очень любила (по тексту "Дневника" Юлии Петровой).

Но, поскольку в Вашем случае источник цитаты указывается на следующей строке (как, например, в эпиграфе), рекомендуем поставить точку после цитаты, а после скобок не ставить:

...и я его очень любила.

(по тексту "Дневника" Юлии Петровой)

Между шесть и пять лучше поставить точку с запятой, в конце нужна точка. В остальном знаки препинания расставлены корректно.

Запятая после названия компании не очень подходит, так как кажется, что название компании выступает в роли обращения. Лучше поставить точку, как это делается при именительном темы. Тире по основному правилу не требуется, но можно оставить интонационное тире.

Таким образом, корректно: Solutis. Мы кузнецы будущего и Solutis. Мы — кузнецы будущего.

Следует либо поставить точку с запятой, либо разделить предложение на два: Она просачивалась через трещины; как только мальчик шевелился, она исчезала или Она просачивалась через трещины. Как только мальчик шевелился, она исчезала.

Знаки препинания расставлены правильно.