Это некорректное сочетание. Половина не может быть большей или меньшей. Правильно: большую часть.
Верно: половина ранее леченных пациентов (удвоение Н из-за зависимого слова).
Предпочтителен первый вариант.
Простого ответа на этот вопрос нет. Слово половина относится к группе существительных с количественным значением — наряду со словами ряд, часть, множество. На выбор формы сказуемого при таких словах влияют разные факторы, основные из которых перечислены в нашем «Письмовнике». Специальные исследования показывают, что в подобных случаях слово половина по своим синтаксическим свойствам близко предметным существительным, а потому сочетается, как правило, со сказуемым в единственном числе. Очевидно, эта форма предпочтительна (но не единственно возможна) и в Вашем примере: Половина дверей открыта настежь.
Грамматических ошибок нет. Но нужно поставить запятую: Заглядывая в новогодные посты в блогах, заметил, что примерно половина людей пишут название праздника с ошибкой.
Возможны оба варианта.