Верно: под подпись. См. в «Словаре трудностей».
Правильно с окончанием -ом: под Царицыном.
Верно только: подпасть под обаяние.
Правильно: под подпись или под расписку.
Правильно: под подпись или под расписку.
Страдать от фашизма, страдать под гнетом фашизма - эти обороты возможны.