Верно: померьте это пальто.
Синтаксическая связь в словосочетании надеть пальто обозначена в наших ответах как управление неизменяемым словом, то есть всё же управление. То же самое можно сказать и о синтаксической связи в остальных приводимых Вами словосочетаниях.
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Словарем трудностей».
Сочетания сестрина школа, отцово пальто грамматически верны; сестрин, отцов – притяжательные прилагательные. Но в живой (особенно устной) речи такие прилагательные употребляются нечасто.
Окончания есть только у изменяемых слов. У неизменяемых существительных окончания нет; в слове пальто корень и основа пальто.
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Словарем трудностей».
Притяжательного падежа в русском языке нет, но есть притяжательные прилагательные – прилагательные, обозначающие принадлежность предмета определенному лицу или животному. Это и есть такие слова, как собачкин, кошкин, мамин, отцов и т. д. Сочетания собачкин дом, мамино пальто правильны.
Это грамматически неосвоенное заимствование (как и кофе).