Можно поставить вопрос: захотел чего? мёду/мёда (родительный падеж), захотел что? мёд (винительный). Родительный части (захотел мёду) выделяется у некоторых существительных с вещественным или собирательным значением и имеет особые окончания.

Правильно: МГД-устойчивость.

Правильно: Земля Королевы Мод. Названия титулов, званий, профессий, должностей и т. п. в составе географических названий пишутся с большой буквы.

Возможно написание и медцентр (сложносокращенное слово), и мед. центр (графическое сокращение слова медицинский).

Прилагательное ставленый (мед) восходит к глаголу ставить (от поставить образуется поставленный). Написание прилагательного с двумя н является устаревшим. Сейчас предпочтительно писать по правилу – с одним н.  

Да, опорное слово в этой аббревиатуре – министерство – среднего рода. Однако из-за своего внешнего фонетического облика МИД воспринимается не как аббревиатура со стержневым словом среднего рода, а как обычное существительное мужского рода (мужской род у слова МИД зафиксирован в словарях русского языка – см., например, «Большой толковый словарь русского языка» С. А. Кузнецова, справочник Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи» и др.). Подобная трансформация произошла не только с  МИД: форму мужского рода приобрели такие аббревиатуры, как НЭП, ВАК, ТАСС (ТАСС уполномочен заявить), вуз (верно: мой вуз, никто не скажет моё вуз)  и др.