Поскольку верно: прогноз на какой-либо день, то и в Вашем примере нужен предлог: прогноз погоды на 26 октября.

Корректен вариант с предлогом НА.

Тогда так: 10-го числа.

В этом сочетании принято писать слово Октябрь с прописной, т. к. оно здесь фактически выступает как имя собственное – название исторического события (т. е. замещает сочетание Октябрьская революция 1917 года), в отличие от нарицательного существительного октябрь – название месяца. То же в названии населенных пунктов Красный Октябрь, кондитерской фабрики «Красный Октябрь» и др.

Следует поставить либо тире, либо двоеточие.

Тире следует поставить.

В подобных названиях Октябрь следует писать с большой буквы. Подробнее см. в ответе на вопрос 256501.

В этом случае принято писать: с 2 октября.

Пунктуация верна. Также нужна точка в конце предложения.