В этом случае луна пишется со строчной буквы.

Верно: Луна во Льве.

Художественный образ создается автором. Луна может оказаться и на дилижансе, и в дилижансе.

Корректно: бог Солнца, богиня Луны.

В обоих случаях верное написание.

Нужно тире с пробелами (или можно использовать косую черту). Если написать через дефис, получится, что это двойная фамилия одного человека (как Римский-Корсаков).

Оба варианта возможны. Лучше: приглашаем отдохнуть на лоне природы.

Запятую ставить не нужно, так как оборот с союзом как имеет значение образа действия и его можно заменить наречием по-песьи.

Да, слово Луна как астрономический термин – название спутника Земли – является именем собственным и пишется с прописной буквы. Однако в нетерминологическом значении, а также в значении 'спутник любой планеты' луна – нарицательное существительное: ничто не вечно под луной; две луны Марса.