Корректно: в городе Казани.
В «Большом академическом словаре русского языка» (гл. ред. К. С. Горбачевич. Т. 7. М., СПб., 2007) слово казачий приравнено по значению к слову казацкий.
Лучше: агентство Казани.
Казанка.
При подчеркивании общего количества: было украдено.
См. «Правила русской орфографии и пунктуации»., параграф 99
Оба варианта верны.
Название района нужно писать с заглавной буквы.