Правильно: играть в бильярд (= играть в игру); играть на бильярде (= на столе). См. подробно в «Словаре трудностей».
См. в «Словаре трудностей».
Выбор глагола зависит от строя предложения и смысла.
Варианты равноправны.
См. в Словаре трудностей.
См. в "Словаре трудностей".
Правильно: вцепился в руку.
См. в «Словаре трудностей»: Бильярд.
См. «Словарь трудностей».