Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
В таких конструкциях существительное может употребляться как в единственном, так и во множественном числе. Форма ед. ч. указывает на внутреннюю связь определяемых предметов. Форма мн. ч. подчеркивает наличие нескольких разобщенных предметов. В итоге - выбор за Вами.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Такое употребление – ошибка.
Какой смысл вкладывается в это словосочетание?
Оба варианта верны.
Если имеется в виду, что людей учат водить мотоцикл, то верно: обучение вождению мотоцикла.