Нормативно: она занимается в кружке танцев, ходит на занятия танцевального кружка. В разговорной речи: ходит в кружок танцев и на кружок (=на занятия кружка).
Правильно: кануть в Лету.
В суффиксе имен существительных -ок- под ударением после шипящих пишется о: язычок (ср.: крючок, кружок, пятачок и т. д.).
Правильно с прописной: кануть в Лету.
Поинтересоваться, разузнать.
Правильно: серебряные крючки.
Вот словарная рекомендация: