Корректно: чей день рождения и у кого-то день рождения.
Правильно дефисное написание: нам придется сегодня-завтра оставить квартиру. Но обратите внимание: сочетание не сегодня завтра пишется без дефисов.
Это сочинительный союз, который относится по значению к разряду градационных.
Литературный вариант: отвезу. Свезу - просторечие.
Предпочтительно: за-втра.
Вы написали верно.
Для постановки кавычек нет оснований: кавычки указывают на непривычное значение, необычное употребление слова, но значение слова завтра ''ближайшее будущее' фиксируется словарями (заглянуть бы в наше завтра!), т. е. необычным такое употребление назвать нельзя. Если же есть опасения, что при написании без кавычек читатель может не понять смысла фразы, тогда лучше ее перестроить.
Завтра – существительное, не склоняется.
В обоих случаях следует писать раздельно: на завтра.