Правильно: Белый дом.
Такое употребление неверно, оно нарушает нормы русского литературного языка. Правильно: мы поехали домой, дома сегодня кормят супом, рюкзак лежит дома.
Это словосочетание пишется строчными буквами.
Оба варианта верны.
Возможны два варианта: Дом моды Chanel и Дом моды "Шанель".
Корректно написание с прописной буквы.