Орфографически верно раздельное написание, т. к. эко... относится к словосочетанию: эко детский сад.
Оба варианта верны.
Верно в ед. ч.: брат или сестра уже посещает.
Корректно с тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – анестезиолог-реаниматолог; врач – детский эндокринолог. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник. М., 2006. Параграф 154, п. 1, 2.
Точное написание можно узнать в уставе организации. Вряд ли возможны марровские (одиночные) кавычки, организационно-правовая форма пишется со строчной буквы, также следует убрать пробел перед закрывающей кавычкой.
Корректно: врач-психиатр — детский участковый.
Можно, хотя это выражение и не является устойчивым.
Запятая не ставится.