Запятая нужна: Она не знала, верить ему или нет.
Оба варианта корректны.
Запятая не требуется.
Правильно: вешать игрушку на ёлку, повесить игрушку на ёлку.
Это сложноподчиненное предложение. Главное предложение: я не знаю. Придаточное предложение: во что верить. Между ними ставится запятая: Я не знаю, во что верить.
Некорректно: "его зовут кронпринц" (кронпринц - это не имя).
Верно: Твои глаза не слепнут, когда ты глядишь...