Извините за задержку с ответом. Ваш вопрос довольно сложный, и вот по каким причинам. Во-первых, название компании LEGO (головной офис которой находится в Дании) представляет собой аббревиатуру, образованную из букв словосочетания на датском языке leg godt, которое означает "играй хорошо" (на латинском языке lego также значит "я собираю", но компания LEGO Group заявляет, что латинская этимология названия – это не более чем совпадение). Таким образом, история названия дает нам основание для написания его прописными буквами. Во-вторых, слово лего употребляется в русском языке уже как нарицательное существительное, обозначающее конструктор такого типа вообще (не обязательно произведенный фирмой LEGO), а также игру с таким конструктором. Это дает нам основания для написания с маленькой буквы без кавычек.
Итак, наши рекомендации таковы. Предпочтительно (особенно при указании торговой марки) написание конструктор LEGO или конструктор «Лего». Но в бытовом употреблении (и тем более при передаче разговорной речи) возможно написание конструктор лего.

Такое однокоренное слово подобрать затруднительно.

Скорее всего, это выражение связано с пословицей Своя шкура к телу ближе.

Правильно: во ФГУП.

Правильно без знаков: не думал не гадал.  См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Есть слово самокатчик. В толковых словарях оно чаще толкуется как 'военнослужащий самокатной части', однако отдельные словари фиксируют и значение 'тот, кто передвигается на самокате'. 

Этот оборот корректен.

В таком случае предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: ООО «Косметическая фирма "Солнышко"». Если по каким-то причинам это невозможно, допустимо писать: ООО "Косметическая фирма "Солнышко". Кавычки одного рисунка рядом не повторяются.

Возможны оба варианта.

Попробуйте воспользоваться строкой «Справочная служба» или повторите свой вопрос.