Словосочетание побрить бороду корректно, оно зафиксировано словарями русского языка. Ошибки нет.
Можно поставить тире или запятую. Чаще пишут с тире.
Использовать кавычки не нужно.
Запятая нужна. Она ставится между главным и придаточным предложением в составе сложноподчиненного.