Да, конечно.
Корректно: ледовая арена "Трактор". В кавычки заключается собственное условное наименование. Нарицательное наименование (ледовая арена) пишется строчными.
Будем играть на стадионе "Открытие Арена", на стадионе "Открытие", на "Открытии", на арене "Открытие" и т. д.
Все названия нужно оставить в начальной форме.
Да, правильно: на реке Лене.
Приложение - Москва (название реки).